Is wiskunde het kompas van de natuurkunde?

De relatie tussen wiskunde en natuurkunde kent, zoals elk huwelijk, momenten van voor- en tegenspoed. Robbert Dijkgraaf legt de nadruk op de positieve kanten in zijn recent verschenen essaybundel Het isgelijkteken. Collega-natuurkundige Sabine Hossenfelder is alarmistischer. Zij waarschuwt in Lost in Math dat de natuurkunde een wiskundig moeras in wordt geleid. Snaartheoreticus en schrijver Marcel Vonk legt deze titels naast elkaar en biedt zijn eigen perspectief.

Het klinkt als een plot uit de bouquetreeks. Twee geliefden worden samen gelukkig, groeien na verloop van tijd uit elkaar, en verbreken op den duur hun relatie. Elk van de minnaars probeert het alleen te redden, maar uiteindelijk blijkt dat de twee toch niet zonder elkaar kunnen. Goed met elkaar communiceren blijft lastig, maar er komen langzaam maar zeker ook weer mooie momenten. Uiteindelijk komen ze weer bij elkaar en blijkt de hervonden relatie nog mooier en veelzijdiger dan voorheen.

De bovenstaande alinea gaat niet over een doktersroman, maar over de wiskunde en de natuurkunde. Dat die twee goed samengaan wisten de oude Grieken al. Archimedes gebruikte een natuurkundige redenering over gewichten om het volume van een bol te bepalen. De pythagoreeërs deden het omgekeerde en bestudeerden juist de eigenschappen van getallen om de natuur beter te begrijpen. Galilei zou het later hebben over ‘het boek van de natuur’ dat in de taal van de wiskunde is geschreven, Eugene Wigner – één van de mathematisch fysici achter de atoombom – sprak over de ‘onredelijke effectiviteit van de wiskunde in de natuurwetenschappen’.

In de negentiende en twintigste eeuw groeiden de takken van wetenschap die zo nauw samen leken te gaan echter uit elkaar. De wiskunde werd steeds abstracter en axiomatischer, terwijl de natuurkunde met name ‘klassieke’ wiskundige technieken bleef gebruiken. Eén helft van het paar sloeg nieuwe wegen in, de andere bleef vooral hangen in hoe het vroeger was.

Net als in de bouquetreeks lijkt er echter een mooi eind aan het verhaal te komen. In de twintigste eeuw kwamen wis- en natuurkunde weer nader tot elkaar. Einstein gebruikte in 1915 geavanceerde meetkunde in zijn algemene relativiteitstheorie. De quantumtheorie van elementaire deeltjes bleek halverwege de eeuw wiskundige ideeën over zogeheten lie-groepen nodig te hebben. Rond 1980 raakte de snaartheorie in zwang – een model waarin niet alleen moderne ideeën uit de algebra en topologie toegepast werden, maar dat ook leidde tot nieuwe ideeën en ‘fysische bewijzen’ die gebruikt konden worden in open wiskundige vraagstukken.

Het isgelijkteken

Als je het mathematisch fysicus Robbert Dijkgraaf zou vragen, zou hij waarschijnlijk zeggen dat de relatie tussen wis- en natuurkunde nog volop in die bloeiperiode zit. Het is dan ook niet vreemd dat Dijkgraaf zijn nieuwste boek heeft genoemd naar het belangrijkste symbool uit de hele wiskunde: het isgelijkteken. Zoals hij het in de eerste zinnen van zijn boek zelf formuleert: ‘Het isgelijkteken is mijn favoriete wiskundige symbool. Zijn bescheiden rol is dienend maar cruciaal. (…) Welbeschouwd doet het isgelijkteken iets volstrekt magisch. Het maakt twee dingen hetzelfde die dat eerst niet waren.’ Dat doet het teken in de wis- en in de natuurkunde: ‘In de natuurkunde maakt het isgelijkteken de verrassendste inzichten mogelijk.’

Lang niet alle verhalen uit Dijkgraafs bundel – een verzameling van columns uit NRC, aangevuld met enkele langere stukken die hij voor andere gelegenheden schreef – gaan overigens over wis- of natuurkunde. Wel gaan ze allemaal direct of indirect over wetenschap, en in vrijwel ieder verhaal valt een ‘isgelijkteken’ te ontdekken. De beroemde blauw-zwarte jurk die in 2015 het internet opschrikte is gelijk aan een wit-goude, en leidt tot een verhandeling over kleuren en onze waarneming daarvan. De zelflerende machines en computers worden steeds meer gelijk aan de mens – of misschien: een verbeterde versie van de mens? – en vormen voor Dijkgraaf een aanleiding om zijn zorgen over, maar ook zijn hoop voor de toekomst van wetenschap en maatschappij met ons te delen. En soms gaat het juist om een ongelijkteken – bijvoorbeeld wanneer de auteur het schoolsysteem in zijn nieuwe thuisland Amerika vergelijkt met dat in Nederland.

Het is dus vooral de wetenschapper Robbert Dijkgraaf die in het boek aan het woord is, en niet zozeer de mathematisch fysicus Robbert Dijkgraaf. Wie behoefte heeft aan een uitgebreide uitleg van de principes achter de snaartheorie, relativiteit of quantumfysica, kan beter Dijkgraafs colleges in de serie van DWDD University terugkijken, maar wie wil weten hoe deze veelzijdige onderzoeker aankijkt tegen wetenschap uit verleden, heden en toekomst, kan in dit boek het hart ophalen.

Twee dingen komen in Dijkgraafs columns telkens weer naar voren: zijn enorme enthousiasme en bewondering voor alles wat met wetenschap en onderzoek te maken heeft, en zijn onbegrensde vertrouwen in de wetenschappelijke methode. Jazeker, we leven in een tijd waarin de wetenschap het zwaar heeft en onderwerpen als klimaatverandering, vaccinatie en evolutie door velen liever uit een vooraf vaststaande overtuiging dan op basis van wetenschappelijke argumenten worden bediscussieerd. Dijkgraaf maakt zich ook duidelijk zorgen over deze ontwikkelingen, maar eindigt toch steevast op een positieve noot. Hij waarschuwt en doet suggesties voor verbetering, maar je hebt als lezer steeds het gevoel dat die woorden bedoeld zijn om te zorgen dat alles weer goed komt – dat de isgelijktekens uiteindelijk daar gezet zullen worden waar ze horen, niet op het gevoel, maar op basis van degelijk onderzoek.

Verloren in de wiskunde

Een heel ander beeld schetst Sabine Hossenfelder in Lost in Math: How Beauty Leads Physics Astray. Zoals uit de titel blijkt, heeft Hossenfelder het niet over de brede wetenschappelijke thema’s die Dijkgraaf aansnijdt, maar focust ze op de natuurkunde – en dan met name op het vakgebied waarin ze zelf werkzaam is, de theoretische fysica van elementaire deeltjes. De vraagstelling komt ook in veel van Dijkgraafs columns terug: waar gaat het heen met de wetenschap, en wordt de wetenschappelijke methode nog wel correct toegepast?

Hossenfelder is minder optimistisch dan Dijkgraaf. Volgens haar is niet de druk van buitenaf het grootste probleem voor de wetenschap, maar gaat er juist binnen de theoretische natuurkunde zelf iets mis. De schoonheid en elegantie die Dijkgraaf zo roemt zijn daar volgens haar de oorzaak van. Waarom gebruiken natuurkundigen die schoonheid eigenlijk als leidraad? Trekt de natuur, in weerwil van wat Galilei en Wigner schreven, zich wel iets aan van wat wetenschappers ‘mooi’ en ‘elegant’ vinden?

Dat natuurkundigen steeds vaker een beroep doen op wiskundige elegantie is overigens niet vreemd, legt Hossenfelder uit. Naarmate we dieper in de werelden van het allerkleinste en het allergrootste doordringen, wordt het steeds moeilijker om nog verder te komen. Experimenten worden groter en duurder – Forbes schat de totale kosten voor het ontdekken van het higgsdeeltje in de Large Hadron Collider bijvoorbeeld op zo’n 13,25 miljard dollar – en daarmee wordt het steeds lastiger en tijdrovender om nieuwe experimentele input te vinden. We zouden dus nog een tweede, minder gelukkig eindigend liefdesverhaal kunnen schrijven: waar theorie en experiment in de natuurkunde altijd hand in hand gingen, wordt in de fundamentele deeltjesfysica die relatie steeds moeizamer, en is er – althans volgens Hossenfelder – weinig hoop op een gelukkige afloop. Zo bezien is de wiskunde juist de kaper op de kust, de buitenechtelijke relatie die theorie en experiment uit elkaar drijft.

Hossenfelder heeft een goed punt: de recente op wiskundige elegantie gebaseerde natuurkunde heeft nog tot weinig concreet meetbare successen geleid. De snaartheorie wacht vijftig jaar na haar ontstaan nog altijd op een eerste experimentele bevestiging, en die lijkt beslist niet op korte termijn te gaan komen. Het wiskundig prachtige idee van supersymmetrie – een model dat de wat rommelige structuur van het standaardmodel van elementaire deeltjes in één klap zou ophelderen – voorspelt allerlei nieuwe deeltjes, maar die hadden eigenlijk in de experimenten in de deeltjesversneller op CERN allang waargenomen moeten worden. De wiskundige elegantie van dergelijke modellen wordt vaak gebruikt als argument om op zoek te gaan naar de voorspelde nieuwe natuurkunde, en daarmee als gedeeltelijke verantwoording om vele miljarden uit te geven. Maar wanneer de gehoopte resultaten uitblijven – en dat is de afgelopen jaren in de elementairedeeltjesfysica vaak het geval – is het terecht om het vertrouwen in die elegantie nog eens kritisch onder de loep te nemen.

De belangrijkste doorn in Hossenfelders oog is het feit dat natuurkundigen graag werken met een begrip dat ‘natuurlijkheid’ wordt genoemd. Het idee lijkt vanzelfsprekend: wanneer in de natuur extreem grote of extreem kleine getallen voorkomen, moeten we ook kunnen verklaren waarom die getallen zo extreem zijn. Als u en ik allebei een getal van twintig cijfers opschrijven, en een van die getallen blijkt grofweg twee keer zo groot te zijn als het andere, dan is dat geen mirakel: u kunt bijvoorbeeld toevallig begonnen zijn met het opschrijven van een 8 en ik met een 4. Maar als we allebei negentien dezelfde cijfers opschrijven en er is alleen een verschillend twintigste cijfer – een afwijking van zo’n 0,000000000000000001 procent – is er waarschijnlijk iets bijzonders aan de hand. Het lijkt extreem onwaarschijnlijk dat we onze cijferreeksen volkomen willekeurig hebben opgeschreven, dus een andere verklaring valt te vermoeden – bijvoorbeeld dat een van ons bij de ander heeft afgekeken en als grapje alleen het laatste cijfer heeft veranderd. Het resultaat lijkt niet ‘natuurlijk’.

In de natuurkunde duiken dergelijke onnatuurlijkheden met enige regelmaat op. In de berekening van de massa van het higgsdeeltje vallen bepaalde quantumbijdragen tot op veertien decimalen achter de komma tegen elkaar weg. De kosmologische constante – de achtergrondenergie die de huidige versnelde uitdijing van ons heelal drijft – blijkt in de relevante eenheden gemeten te beginnen met maar liefst honderdtwintig nullen achter de komma. Dergelijke uitkomsten schreeuwen om een verklaring. Ze afdoen als zuiver toeval lijkt een wiskundig wel heel onelegante oplossing.

Hossenfelder beargumenteert dat we in zulke gevallen echter misschien wel te veel op de wiskunde vertrouwen. Zo voert ze als argument tegen het idee van (on)natuurlijkheid aan dat er een onbenoemde aanname in schuilt: het feit dat alle verschillende getalswaarden a priori even waarschijnlijk waren. Maar is dat ook zo? Als u en ik allebei het getal 12345678901234567890 hebben opgeschreven, is dat nog steeds een toevalligheid, maar die toevalligheid is een stuk minder groot dan als we allebei 39149352095669378594 hebben geproduceerd. Wellicht heeft de natuur ook een voorkeur voor bepaalde getallen, en zolang we die voorkeur niet kennen is het onverstandig – misschien zelfs wel arrogant – om op ons menselijke beeld van natuurlijkheid, elegantie en schoonheid te vertrouwen.

Of je het nu met Hossenfelder eens bent of niet, haar ideeën hebben geresulteerd in een boek dat zeker de moeite van het lezen waard is. De persoonlijke anekdotes en prettige, soms humoristische vertelstijl werken daar zeker aan mee. Goed, soms bekruipt je als lezer het gevoel dat de zaken expres wel erg negatief worden geformuleerd om de argumenten kracht bij te zetten – een stijl die past in de huidige internetcultuur waar Hossenfelder als fanatiek blogger zelf ook deel van uitmaakt. De lovende woorden van bekend snaartheorie-basher Peter Woit op de achterkaft zijn wat dat betreft ook een vreemde keuze van de uitgever. Waar Woit door veel wetenschappers in de categorie ‘internettrollen’ geplaatst zal worden, verdient Hossenfelder dat label allerminst. Ze heeft een stevige wetenschappelijke achtergrond in de onderwerpen waarover ze spreekt – wie iets over natuurkunde wil leren, kan in dat opzicht ook beter in haar boek terecht dan in dat van Dijkgraaf – en de problemen die ze beschrijft zijn relevant in de hedendaagse natuurkunde.

Wie heeft er gelijk?

De grote vraag is natuurlijk wie van de twee auteurs het bij het juiste eind zal blijken te hebben. Is de wiskunde een prachtige bron van inspiratie voor de natuurkunde en is de schoonheid die Dijkgraaf zo waardeert een goede leidraad, of moeten we als onderzoeksgemeenschap meer luisteren naar de waarschuwende woorden van Hossenfelder? Een disclaimer: een van de twee auteurs was mijn leermeester en promotor, dus geheel neutraal zullen de komende alinea’s beslist niet zijn.

Dat gezegd hebbende: ik heb meer vertrouwen in de weg die Dijkgraaf ons wijst dan in de richting die Hossenfelder voorstelt. Of eigenlijk: het wordt niet helemaal duidelijk welke richting die laatste wil inslaan; wat het alternatief is dat elegantie als leidraad zou kunnen vervangen. We zullen als wetenschappers nu eenmaal moeten kiezen welke van de vele mogelijke modellen het waard zijn om experimenteel te onderzoeken – en hoewel ik het in principe eens ben met Hossenfelder dat wiskundige elegantie daarin een gevaarlijk kompas kan zijn, zijn er momenteel weinig betere alternatieven. Waar Hossenfelder wat mij betreft wel een heel goed punt heeft, is in haar kritiek op het groepsdenken: vaak is ‘elegant’ een verkapte vertaling van ‘vertrouwd’. We hebben als wetenschappers de neiging om met de stroom mee te zwemmen, om de meningen van onze leermeesters over te nemen (jazeker, ik zie de ironie) en om gestuwd door de wens van subsidiegevers onderzoek te doen in bekende, ‘veilige’ richtingen. Iets vaker op de tast buiten de lichtcirkel rond de lantarenpaal zoeken zou beslist geen kwaad kunnen.

Daarbij blijft de vraag natuurlijk: moeten we bij dat rondtasten de wiskundige elegantie helemaal vergeten? En kunnen we in dat geval nog ergens anders onze richting mee bepalen? Het is een moeilijke vraag, waar ik zelf het antwoord niet op weet. Dijkgraaf overigens ook niet, want juist de column over het begrip natuurlijkheid in zijn boek is een van de weinige die niet eindigt met een advies of hoopgevende gedachte. Het vraagteken in de titel van de column, ‘Higgs en dan niks?’, is dan ook veelzeggend. In Dijkgraafs eigen woorden: ‘De fysica staat nu voor een existentiële tweesprong. Óf de natuur is ‘natuurlijk’ en tot onze grote vreugde worden er in Genève de komende jaren nieuwe deeltjes en mechanismen gevonden die alles zullen verklaren. Óf de natuur is ‘onnatuurlijk’, de deeltjesversneller vindt naast het higgsdeeltje helemaal niets meer en we zien voor het eerst het einde van het reductionisme.’

Van het boek over de relatie tussen de wis- en natuurkunde is het laatste hoofdstuk nog niet geschreven. De hervonden romantiek lijkt her en der weer wat scheurtjes te vertonen. Ik hoop op de bouquetreeksvariant: een mooi einde waarin alles weer goed komt. Of dat ook echt het geval zal zijn valt helaas niet te voorspellen – maar juist dat maakt het boek van de natuur, in welke taal dat ook geschreven is, zo spannend om te lezen.